En fait, ça dépend des modules de paiement et de livraison.
Certains modules de paiement (Payzen, Paypal, ...) envoient un mail de confirmation de paiement lorsque la commande est payée, en plus du mail de confirmation de commande. Ceci peut être débrayé en général dans la configuration du module.
De même, certains modules de livraison envoient un mail de notification d'expédition de colis, en général avec l'URL de suivi.
Par défaut, aucun mail ne signale que la commande passe de l'état "payé" à l'état "en traitement".